نمودار تابع $y = \cos x$ و خط $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ در زیر رسم شدهاند. مشابه فعالیت قبل به سؤالات زیر پاسخ دهید تا جوابهای معادله $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ را بیابید.
حل تمرین فعالیت صفحه 45 ریاضی دوازدهم
هدف یافتن ریشههای معادله $\mathbf{\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}$ با استفاده از نمودار و دایره مثلثاتی است.
### 1. یافتن جوابهای اصلی ($\alpha$)
زاویهای در ربع اول که کسینوس آن $\frac{\sqrt{3}}{2}$ باشد، $\mathbf{\alpha = \frac{\pi}{6}}$ (یا $30^\circ$) است.
* **تفسیر هندسی (دایره مثلثاتی):** چون کسینوس $\frac{\sqrt{3}}{2}$ مثبت است، جوابهای اصلی در **ربع اول و چهارم** قرار دارند.
* **ربع اول:** $\mathbf{x = \frac{\pi}{6}}$
* **ربع چهارم:** $\mathbf{x = -\frac{\pi}{6}}$ (یا $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$)
### 2. تفسیر نموداری
* **نقاط تلاقی:** طول نقاط تلاقی منحنی $y = \cos x$ (قرمز) و خط افقی $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (خط چین) ریشههای این معادله هستند.
* **مشاهده:** نقاط تقاطع متقارن نسبت به محور $y$ هستند و هر $2\pi$ واحد تکرار میشوند.
### 3. دستهبندی و یافتن جوابهای عمومی
برای معادله $\cos x = \cos \alpha$، چون $\cos(-x) = \cos x$ است، دو دسته جواب داریم:
1. **دسته اول:** زوایای همانتها با $\alpha$.
$$\mathbf{x = 2k\pi + \alpha} \quad (k \in \mathbb{Z})$$
2. **دسته دوم:** زوایای همانتها با $-\alpha$.
$$\mathbf{x = 2k\pi - \alpha} \quad (k \in \mathbb{Z})$$
### 4. جواب نهایی
با جایگذاری $\alpha = \frac{\pi}{6}$، تمام جوابهای معادله $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ به صورت زیر هستند:
$$\mathbf{x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$
